Die Entwicklungen für die beiden Zweige (I) lauten daher gemäss (1), und die jeweiligen beiden Ordinaten, die sich aus (IIa) für die Abscissen ±x ergeben, sind somit vertauscht dieselben, die für die gleichen Abscissen aus (IIb) folgen (Fig. 52); man erhält somit zwei zur Ordinatenaxe symmetrische, dem Ursprung zu sich auf oder mit √x = z, da die Bruchpotenzen von x durch die Multiplikation nicht verschwinden und somit behufs Auftragung der Gleichung auf das analytische Dreieck zu den schon vorhandenen Parallelen mit der Bande ohne x noch die Parallelen im mittleren Abstand gezogen werden müssten und somit gemäss (1), (3), (4) die Entwicklungen für die beiden Zweige (I) 2 Für negative Werte von x wird der zweite Term und somit jede der beiden Reihen imaginär, es bestehen daher nur auf der positiven Seite der Abscissenaxe zwei, dem Ursprung zu sich mehr und mehr der Parabel y = x2 nähernde Zweige, deren Ordinaten, stets sehr kleine Werte von x vorausgesetzt, durch Vermehren bezw. Vermindern der Ordinaten jener Parabel um den Betrag xVx erhalten werden. Die Kurve hat also a 4 να im Ursprung eine Schnabelspitze (Fig. 53) und der von De Gua vergebens gesuchte analytische Ausdruck für die geometrische Zusammengehörigkeit beider Zweige derselben d. h. dafür, dass jeder der Zweige sich durch die Spitze hindurch in den andern fortsetzt, +Y Fig. 53. +X lautet 53. Schafft man in 52. III die Wurzelgröfse weg, so folgen aus der nach Potenzen von y geordneten Gleichung (IIIa) y2 - 2 Ax2y + (A2 — B2x)x1 = 0 für x = O zwei Werte y = 0, für y O, die Schnabelspitze ist somit ein Doppelpunkt mit der Abscissenaxe als Wendetangente, in Übereinstimmung mit 47. h, da 0 als Wurzel auftritt bei x = O vier Werte x fn(x) = 0 vierfach, fn-1 (x) = 0 doppelt, = desgleichen in Übereinstimmung mit 47. m, sobald man die Gleichung nach Potenzen von x ordnet: (III) B2x5 - A2x4+0x3+2 Ayx2+0.xy2 = 0, fn (y) = 0 doppelt, fn-1 (y) = 0, fn-2 (Y) = 0, fn−3 (Y) = 0 einfach. Aus der gleichzeitig nach beiden Variabeln geordneten Gleichung (IIIb) folgt ferner gemäfs 50. f, da das Aggregat der Glieder niederster Dimension sich auf y2 = 0 reduziert, dafs auch der zweite Zweig des Doppelpunkts die Abscissenaxe berührt. Die Schnabelspitze ist somit, wie schon Maupertuis aus geometrischen Betrachtungen richtig erkannt hat (vgl. 9), aufzufassen als Spitze I. Art, deren einer Zweig im Ursprung noch einen Wendepunkt besitzt, beide Zweige verlaufen somit auf derselben Seite der gemeinschaftlichen Tangente. 53a. Untersucht man die Kurven niederster Ordnung, für welche die Ordinate sich als steigende Potenzreihe der Abscisse darstellt, aber so, dafs einer der Terme eine gerade Wurzel enthält, damit nur positive Werte von x reelle Ordinaten ergeben, so sind die einfachsten Fälle: 3 a) y = ax ± ẞxx eine Kurve dritter Ordnung mit zwei der Geraden y =ax im Ursprung sich nähernden Zweigen, deren Ordinaten durch Vermehren bezw. Vermindern der Ordinate jener Geraden um den Betrag BxVx erhalten werden. Die Kurve hat somit im Ursprung eine Spitze I. Art; dieselbe Singularität besitzen sämtliche höheren Kurven, für welche die Potenzreihe mit einem linearen Term beginnt, also n da sich wegen des durch die gerade Wurzel bedingten Doppelzeichens ± beide Zweige der Kurve von entgegengesetzten Seiten her der Geraden =αx nähern. y b) y = 5 = α x2 + ẞx2 oder (y — α x2)2 = ẞ2x3, eine Kurve fünfter Ordnung mit Schnabelspitze im Ursprung (vgl. 52. III). Aufserdem schneidet die Kurve noch die Abscissenaxe im Punkt x = yo = 1 3 B2 c) y = ax2 ± ẞx3 oder (y2 — α2x)2 = 4αß2 · x2y + ß1x3. Um die Annäherung dieser Kurve vierter Ordnung an die Parabel a2x zu ermitteln, sind diesmal die Zweige nach Potenzen von y zu entwickeln, daher eingesetzt X = y2 d. h. die vorliegende Kurve vierter Ordnung hat im Ursprung eine Schnabelspitze mit der Ordinatenaxe als Tangente. Die Schnabelspitze tritt somit bei den Kurven vierter Ordnung erstmals als Singularität auf. (Euler, Mém. de Berlin 1748, pg. 212.) Spitzpunkt. 54. Unter denjenigen singulären Punkten, in denen sich die Teile eines Zweigs, abgesehen vom Grad der Krümmung, wie in einem gewöhnlichen Punkt vereinigen, schenkt De Gua noch eine kurze Beachtung dem Spitzpunkt, den er erstmals in der in 22. Fig. 12 beschriebenen Weise als Sonderfall eines dreifachen Punkts auffafst (point triple à trois directions égales ou coincidentes et d'une multiplicité invisible), während Maupertuis ihn durch +Y Fig. 54. das Zusammenfallen zweier Spitzen I. Art und eines Doppelpunkts (point de double pointe, vgl. 22. Fig. 13), De Bragelongne durch das Verschwinden eines Knotens (Lemnisceros infiniment petit) nach Art der Fig. 54, also durch das Zusammen+X fallen dreier Doppelpunkte entstehen lässt, was De Gua für geometrisch unzulässig erachtet, da er einen dreifachen Punkt nicht äquivalent drei Doppelpunkten anzusehen vermag. Mit letzterer Ansicht steht somit De Gua im Widerspruch zur heutigen Auffassung, die mit derjenigen. von Maupertuis und De Bragelongne übereinstimmt, insofern als, gestützt auf Betrachtungen über den Schnitt einer Kurve und ihrer ersten Polare, jeder k fache Punkt zu k (k − 1) 2 Doppelpunkten zu rechnen ist. C. Singuläre Punkte im Ursprung mit beliebiger Tangentenrichtung. 55. Zur Ermittelung der Tangenten dreht De Gua die Ordinatenaxe um einen Winkel, bestimmt durch tg m bis die Anzahl der im 9 n Ursprung zusammenfallenden Schnittpunkte der neuen Ordinatenaxe U mit der Kurve den Bedingungen der Tangente genügt. gleichung dieser U-Axe mit der geg. Kurve Die Schnittpunkts Ist daher der Ursprung ein k facher Punkt, so mufs jeder Strahl durch den Ursprung die Kurve in diesem Punkt in k zusammenfallenden Punkten treffen d. h. für jedes beliebige m und n müssen sich k Werte u = 0 ergeben, woraus folgt, dass die k ersten Terme von (2) identisch verschwinden müssen, daher Satz: Ist das niederste Aggregat der nach steigenden Potenzen beider Variabeln geordneten Kurvengleichung von kten Grad, so hat die Kurve im Ursprung einen k fachen Punkt. Soll die U-Axe für einen der Zweige des k fachen Punkts Tangente werden, so mufs sie die Kurve in k + 1 Punkten im Ursprung treffen; es mufs daher in (2) auch noch der Term u d. h. das Aggregat der Glieder kter Dimension in (1) verschwinden, somit Satz: Das gleich Null gesetzte Aggregat der Glieder niederster Dimension f(x, y) = 0 der nach steigenden Potenzen beider Variabeln geordneten Kurvengleichung giebt die k Tangenten des k fachen Punkts im Ursprung. Erstes Beispiel: Das niederste Aggregat von der zweiten Dimension: f(x, y) = (ey2+fxy + 9x2) + (hy3 + ixy2 + kx2y + 1x3) + · · · |