d) f(x, y) = 0 eine fünffache Wurzel giebt als Näherungskurve die Rückkehrspitzparabel ur-5. z5 + ur-10 oder 25+u40 u. s. f. = Man erhält somit in sämtlichen Fällen eine parabolische Annäherung, daher У x У hat die Kurve in der Richtung = a stets einen parabolischen Verlauf und zwar nach Art der konischen bezw. zweiten kubischen Parabel, je nachdem a eine gerade bezw. ungerade mehrfache Wurzel ist. dann giebt das analytische Dreieck, auf die Bande ohne u gelegt, die zu dieser parallele Bestimmungsgerade (III) = y Ꮳ = α 0 ur-2.22 + ur - 2 z + ur-2 oder z2 + + 1 = 0, d. h. zwei zur Ordinatenaxe z=0, also zur Ursprungsgeraden parallele Asymptoten, die wegen des konstanten Glieds in (III) nicht durch den Ursprung gehen, obwohl a eine Wurzel der beiden höchsten Aggregate ist (vgl. 40). Je nach der Beschaffenheit der beiden, von den in (III) nicht geschriebenen Koeffizienten (vgl. 40) abhängigen Wurzeln sind diese Asymptoten reell und getrennt, reell und zusammenfallend oder imaginär konjugiert (vgl. 45, c. Fig. 43 und 44). b) fr (x, y) = 0 doppelt, fr-1 (x, y) = 0, fr-2 (X, Y) = 0 einfach, (II) 0=(ur−2· ≈2 + · · + ≈2) + (u” 2+ - 2 2+ + or -2) + ¿1 − 3) + . . . 2-3) + zr−1)+(ur. -3 -3 (IIa) 0=(22 + z) ur − 2 + (≈3 + 22 + ≈ + 1) u2 - 3 + ··· +a, y d. h. gemäfs (35) zwei parallele Asymptoten: += 0, die eine z = 0 oder a durch den Ursprung. Ihr nähert sich die Kurve gemäss dem analytischen Dreieck nach Art der konischen Hyperbel x ur-2.z + ur-3 = 0 oder uz + 1 = 0. c) f(x, y) = 0, fr-1 (x, y) = 0 doppelt, fr-2 (x, y) (IIa) 0=22. u'-2 + (≈3 + 22 + ≈ + 1) ur−3 + y d. h. eine doppelt zu zählende Asymptote = a durch den Ursprung und х asymptotische Annäherung der Kurve an dieselbe in der Art wie bezüglich ihrer Ordinatenaxe die kubische Hyperbel woraus für z = O eine Gleichung (r Fig. 39. 4)ten Grads in u, also vier Wurzeln a selbst Asymptote mit der Annäherung Fig. 40. Fig. 41. (uz + C1) (uz + C1⁄2) = 0 d. h. nach Art der konischen Hyperbel mit Doppelästen, die durch die Asymptote nicht getrennt oder getrennt sind (Fig. 39 und 40), je nachdem C1 und C2 gleiches oder entgegengesetztes Vorzeichen haben; sind C1 und C2 imaginär konjugiert, so ist die Asymptote von keinem Zweige begleitet. +(ur-5 + (ur - 5. ≈ + ·· + xr-4)+ (ur-5 + somit Annäherung an die Asymptote der konischen Hyperbel У = a sowohl (Fig. 41) nach Art oder u z + 1 = 0, (II) i) f, (x, y) = 0 dreifach, fr-1 (x, y) = 0 doppelt, 0 = (ur-3. ~3 + · · + ≈3) + (ur−3. ≈2 + · · + 2” − 1) Je nachdem C1 und C2 gleiches oder entgegengesetztes Vorzeichen haben, besitzt die Kurve in der Richtung — a vier Äste nach Art zweier y X konischer Parabeln, die sich in ihren Scheiteln entweder von innen oder von aufsen berühren. У x Die unendlich fernen Äste der Kurve verlaufen in der Richtung a wie diejenigen der zweiten kubischen Parabel m) f, (x, y) =0 dreifach, fr-1(x, y) = 0, fr-2(x, y) = 0 einfach, (II) 0 = (ur−3. (ur - 3. 23 + · · + 21) -2 +(ur- · 2+ +(ur -3.2 + ·· + ** − 2) +(ur-3+ ·· + zr−3) + · · · (III) Konische Hyperbel ur-2.z + ur-3 = 0 +X oder uz + 1 = 0 und konische Parabel (II) (III) fernen Zweige besitzt z. B. die Parabel des Descartes (Fig. 42). n) f (x, y) =0 dreifach, fr-1 (x, y) = 0 doppelt, fr-2 (x, y) = 0 einfach, oder 23 + z2 + z + 1 = 0. Die Kurve besitzt somit einen unendlich fernen dreifachen Punkt mit drei = a parallelen Asymptoten, von denen keine durch den У = 0. Die Kurve besitzt drei zur Richtung = a parallele Asymptoten, davon die eine durch den Ursprung. (IIIa) oder Ꮳ p) f(x, y) = 0 dreifach, f,-1(x, y) = 0 doppelt, fr-2 (x, y) = 0, davon die eine durch den Ursprung mit Annäherung der Kurve nach Art der konischen Hyperbel q) f,(x, y) = 0 dreifach, fr-1 (x, y) = 0, fr-2 (x, y) = 0 doppelt, davon die eine = a durch den Ursprung doppelt zu rechnen mit An y x näherung nach Art der kubischen Hyperbel (IIIb) 2 ur-3. &2 + ur-4 ur-40 oder uz2 + 1 = 0. r) f(x, y) = 0 dreifach, fr-1 (x, y) = 0, fr-2 (x, y) = 0 doppelt, fr-3(x, y) = 0 und fr-4(x, y) Zwei parallele Asymptoten = O einfach. |