Unendlichen. 63-67. Lineare Transformation und projektive Ab- 84-89. Vergleich der analytischen und der Differential- IV. Abschnitt. Übungen nach de Gua 3 90-95. Die Kurven dritter Ordnung y3=x3 − a x2 + b2x. 96--101. Die Kassinoide. 102-104. Untersuchung zweier Kurven IV. Ordnung auf ihr Verhalten im Ursprung. 105. Untersuchung der Kurve III. Ordnung xy2+ey: cxd bezüglich ihrer unendlich fernen Äste. 106. Die parabolischen Kurven nter Ordnung. 107-119. Die Systematik der Kurven II. und III. Ordnung. Anhang. Biographische Notizen . De Bragelongne, Clairaut, Cramer, Descartes, De Fontenelle, Seite 128-163 164-166 I. Abschnitt. Geschichtlicher Überblick über die Entwicklung der Kurvendiskussion von Descartes bis De Gua 1637-1740. Einleitung. 1. In dem gemeinsam mit Herrn Nöther-Erlangen erstatteten Bericht über die Entwicklung der Theorie der algebraischen Funktionen in älterer und neuerer Zeit, Band III der Jahresberichte der deutschen Mathematikervereinigung, Jahrgang 1892/93, würdigt pg. 132-134 Herr von BrillTübingen, von welchem die Bearbeitung des älteren Zeitabschnitts herrührt, erstmals eingehender die Verdienste eines Mannes, der auf dem Gebiete der analytischen Geometrie als der hervorragendste unter den im Gefolge von Newtons epochemachender Enumeratio auftretenden Nacheiferern dieses grofsen Geometers betrachtet werden mufs: des Abbé Jean Paul de Gua de Malves. Das streng im Geiste des Descartes verfafste kleine Werk De Gua's, betitelt „Usages de l'analyse de Descartes pour découvrir sans le secours du calcul différentiel les propriétés ou affections principales des lignes géométriques de tous les ordres", Paris 1740. 120, 457 pp., dessen Format und Ausstattung, vielleicht nicht unabsichtlich, eher ein Gebetbuch denn eine Schrift mathematischen Inhalts vermuten läfst, repräsentiert in äusserst knapper und für die damalige Zeit schwer verständlicher Darstellung ein vollständiges Lehrbuch der analytischen Geometrie der ebenen algebraischen Kurven und ist ein Meisterstück des Scharfsinns, voll origineller Gedanken und feiner Bemerkungen. In einem Punkt dagegen läfst sich De Gua eine verhältnismässig geringfügige Übereilung zu Schulden kommen: er bestreitet die Existenz der von De l'Hospital aufgefundenen Spitze II. Art, der sog. Schnabelspitze (point de rebroussement de la 2o espèce), und dies scheint ihm den Tadel der Nachfolger in dem Mafse zugezogen zu haben, dafs darüber seine nicht geringen Verdienste um die Anwendung der Algebra auf Geometrie bis auf die neueste Zeit fast gänzlich in Vergessenheit geraten sind, noch Chasles streift in seinem Aperçu historique sur l'origine et le développement Sauerbeck, Gua de Malves. des méthodes en géometrie, Paris 1875, die analytischen Leistungen De Guas nur flüchtig und unvollständig. Zu dieser Verdrängung De Guas hat vor allem Gabriel Cramers zehn Jahre später erschienene Introduction à l'analyse des courbes lignes algébriques, Genève 1750, beigetragen. Im Hinblick auf dieses umfangreiche, den damaligen Stand der Kenntnisse zu einem gewissen Abschluss führende Kompendium einer Theorie der algebraischen Kurven, das zu einem grofsen Teil seines Inhaltes an die Usages de l'analyse erinnert, aber im Gegensatz zu diesen, wenn auch von einer gewissen Breite und Ängstlichkeit der Darstellung, doch leicht fasslich geschrieben ist und zudem in dem berühmten Abschnitt über die Méthodes des séries (Chap. VII) die Untersuchungen Eulers: Sur le point de rebroussement de la 2o espèce, Mém. de Berlin 1748, schon berücksichtigt, wird wohl De Gua von einer verbesserten Neuausgabe seines Buches abgesehen haben. An die Stelle der Usages tritt die vielgelesene Introduction, die lange Zeit hindurch die Führerschaft behält, obwohl bezüglich ihrer neuen Methoden und Sätze Gabriel Cramer vielfach nicht das Recht der Priorität zuerkannt werden kann. Bestrebungen De Guas. 2. Die Ziele, welche De Gua mit seiner Arbeit verfolgt, sind im wesentlichen von zwei Gesichtspunkten aus zu betrachten: In erster Linie sucht er die Analysis des Descartes, die zur damaligen Zeit in ihrem eigensten Gebiet, dem der Untersuchung der geometrischen Eigenschaften auf Grund der algebraischen Gestalt der Kurvengleichung, durch die obwohl ein halbes Jahrhundert jüngere Differentialrechnung verdrängt wurde, als die natürlichste und ursprüngliche Methode in ihre alten Rechte wieder einzusetzen, indem er, ein Meister in der Beherrschung derselben zeigt, wie sie in allen einschlägigen Fragen ein nicht weniger mächtiges Hilfsmittel darstellt denn die Differentialmethode, ja, dafs sie letzterer sogar überlegen ist, insofern sie dieselben Ergebnisse nicht nur durchaus elementar, sondern auch mit weit schärferer Begründung abzuleiten gestattet; in zweiter Linie sucht er, angeregt durch Newtons Enumeratio, erstmals eine allgemeine analytische Theorie der algebraischen Kurven zu entwickeln. In diesem Sinn, sagt De Gua selbst in seiner Vorrede, möge sein Werk gleichsam als eine Extension des idées de deux grands hommes betrachtet werden. Descartes Géométrie. Newtons Enumeratio. 3. Die Anfänge einer Theorie der algebraischen Kurven reichen nicht früher zurück als bis Descartes. Obwohl nach den Untersuchungen Zeuthens: Über die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum, Kopenhagen 1886, schon Apollonius über den Begriff der Koordinaten verfügt und mit ihnen in einer gewissen geometrischen Ausdrucksweise, die ihm die heutige Zeichensprache der Algebra ersetzt, operiert, so hat doch Descartes in seiner Schrift: La Géométrie, Leyden 1637, zuerst die Kurven höherer Ordnung durch Gleichungen ausgedrückt und damit überhaupt den Begriff der algebraischen Kurven geschaffen. Aber trotz der Universalität der neuen Lehre Descartes' gehen die Untersuchungen der nächst folgenden Zeit kaum über die Betrachtung der Kurven zweiter Ordnung hinaus und beschränken sich auch für höhere Kurven nur auf Einzelheiten, vgl. Chasles: Aperçu historique pg. 94-118. Die Grundlage zu einer allgemeinen Theorie der algebraischen Kurven schafft erst beinahe siebzig Jahre später Newtons: Enumeratio linearum tertii ordinis, London 1704. Zwar war der Hauptzweck dieser Schrift, welche auf die Entwicklung der Geometrie einen so weittragenden Einflußs ausgeübt hat, die Aufzählung und Klassifizierung der Kurven dritter Ordnung, von welchen bis dahin nur wenige Arten bekannt waren, allein indem Newton seine überraschend einfachen Sätze, welche in die erstaunliche Mannigfaltigkeit der Gestalten dieser Kurven Ordnung bringen, als Verallgemeinerungen der bekannten Durchmesser-, Sekanten-, Asymptotenund projektiven Eigenschaften der Kegelschnitte ohne Beweis veröffentlichte, gab er die erste mächtige Anregung zu einer Reihe ganz hervorragender Leistungen, welche, zunächst auf die Begründung jener Sätze gerichtet, eine allgemeine Theorie der algebraischen Kurven anstrebten. Die namhaftesten Vertreter dieser durch die Enumeratio auf ein halbes Jahrhundert hinaus bestimmten Richtung der Geometrie sind nach der Zeitfolge, in welcher sie ihre Schriften geometrischen Inhalts veröffentlichten: Jacob Stirling, Colin Mac Laurin, Nicole, Saurin, Maupertuis, De Bragelongne, De Gua und Gabriel Cramer. De Guas Werk ist die erste allgemeine Kurvendiskussion in rein analytischer Behandlung. Welch bedeutende Fortschritte auf diesem Gebiet seit dem Erscheinen der Enumeratio diese Schrift nach Inhalt wie nach Methode aufweist, zeigt eine kurze Betrachtung der diesbezüglichen Litteratur der Vorgänger. Jacob Stirlings Lineae Newtonianae. 4. Sieht man von der im Supplément du Journal des Sçavans, Septembre 1708 veröffentlichten kleinen Abhandlung des siebzehnjährigen De Bragelongne, des späteren Abbé, ab, die sich mit der Begründung des VI. Abschnitts der Enumeratio, der Descriptio organica curvarum mittels steter Bewegung zweier unveränderlicher Winkelgröfsen längs gegebener Leitlinien, befasst, jedoch nur insoweit, als für die entstehenden geometrischen Örter dritten Grades die Gleichungen aufgestellt werden, ohne eine analytische Diskussion anzuschliefsen, so ist die erste kurventheoretisch bedeutende Arbeit diejenige Jacob Stirlings, betitelt: Illustratio tractatus D. Newtoni de Enumeratione linearum tertii ordinis, Oxon. 1717. Hier zeigt Stirling zuerst, indem er die gerad- und krummlinigen Asymptoten, die in Newtons Enumeratio das Einteilungsprincip der Kurven dritter Ordnung abgeben, mit dem Approximationsverfahren der Reihen in Zusammenhang bringt, dafs Newton nur durch seine Fluxionsrechnung (Methodus fluxionum et serierum infinitarum, nach den Angaben von Newtons Biograph Brewster 1670 abgefafst) zu den glänzenden Ergebnissen seiner Enumeratio gelangt sein konnte. Stirling bestimmt die Asymptoten (Prop. VI) aus den Anfangsgliedern mit positiven Exponenten der nach fallenden Potenzen der Abscisse geordneten Reihe für die Ordinate des betreffenden Kurvenzweigs, zeigt (Prop. V), dass, wenn die Abscissenaxe selbst Asymptote wird, die Ordinate nicht bis zum höchsten Grad der Kurvengleichung ansteigt, auch weifs er (Prop. I), dafs die unendlichen Zweige stets in gerader Anzahl auftreten und parallele Gerade eine Kurve in ebensoviel Punkten treffen, die imaginären eingerechnet, als der Grad der Gleichung angiebt, aber alle seine Untersuchungen über die Gestalt der Kurven beruhen auf Reihenentwicklungen, die Form der Gleichung selbst diskutiert er nicht analytisch, nur in Probl. IX zieht er n(n + 3) die Anzahl der Koeffizienten in Betracht, um die Zahl der die Auffallend ist, 2 Kurve nter Ordnung bestimmenden Punkte zu ermitteln. dafs Stirling mehrfache und singuläre Punkte nicht in den Kreis seiner Betrachtungen zieht, obwohl er in den Reihen ein vorzügliches Mittel zu ihrer Untersuchung besessen hätte und zudem in Prop. II Ex. IV. V die Entwicklungen für die Ordinate mehrdeutig werden, also auf eine Kurvenverzweigung hinweisen. Bezüglich der verschiedenen Methoden der Reihenentwicklungen, die z. T. auf Angaben Newtons, wie z. B. dessen Diagramm beruhen, z. T. selbst erfunden sind, ist u. a. bemerkenswert, dafs schon Stirling den nach Mac Laurin benannten Satz, allerdings unter Beschränkung auf algebraische Funktionen, ausspricht (Prop. III) und ihn durch Beispiele erläutert. Mac Laurin's Geometria. 5. Die nächste bedeutende Arbeit geometrischen Inhalts, die Geometria organica des damals neunzehnjährigen Mac Laurin, London 1720, kommt für die analytische Kurvendiskussion kaum in Betracht. Sie befafst sich, wie die eingangs erwähnte Abhandlung De Bragelongnes von der Descriptio organica curvarum Newtons ausgehend, mit der geometrischen Erzeugung höherer Kurven aus niederen, aber in einer Vielseitigkeit der Methoden, mit |