homogener Koordinaten, den jedoch erst Möbius in seinem baryzentrischen Calcul verwirklichte (1827).

Eines der schönsten Ergebnisse der projektiven Betrachtungen De Guas ist der Satz über die Wendepunkte einer Kurve dritter Ordnung. Die von Newton in der Enumeratio angegebene Eigenschaft der mit drei Paaren hyperbolischer Zweige behafteten Kurven dritter Ordnung, der sog. Hyperbolae redundantes, dass, wenn zwei dieser Paare einen Durchmesser haben, d. h. auf derselben Seite der Asymptote verlaufen, das dritte Paar notwendig dieselbe Lage zur Asymptote hat, erkennt De Gua, indem er die unendlich ferne Gerade ins Endliche projiziert und jene besondere Art hyperbolischer Zweige als unendlich ferne Wendepunkte deutet, als einen Sonderfall der allgemeinen Eigenschaft der Kurven dritter Ordnung, dass, wenn dieselben zwei Wendepunkte besitzen, sie noch einen dritten haben müssen, der mit den beiden ersten auf einer Geraden liegt. Der Ursprung dieses auf pg. 225 erstmals von De Gua ausgesprochenen Satzes, den De Gua aufserdem auf pg. 315 rein analytisch beweist, wird gewöhnlich fälschlicherweise auf die acht Jahre nach den Usages de l'analyse erschienene Algebra des Mac Laurin zurückgeführt, in dessen Anhang er sich, aber nur mit Hilfe der Differentialrechnung, bewiesen findet.

Auch in algebraischen Fragen, im besonderen in Bezug auf Elimination, zeigt De Gua eine originale Auffassung. Statt der von Newton in der Arithmetica universalis, pg. 73, aufgestellten Tabelle der Resultanten zweier Gleichungen bezw. zweiten, zweiten und dritten, dritten Grads einer Veränderlichen benutzt De Gua eine durchaus elementare Methode, die zwar schwerfällig ist, aber sicher zum Ziel führt, weshalb man neuerdings wieder auf sie zurückgreift, wenn es sich um strenge Begründung der Sätze über die Resultante handelt: er eliminiert eine Veränderliche aus zwei Gleichungen beliebig hohen Grads nach dem Kettenbruchverfahren, das schon Euklid zur Ermittlung des gröfsten gemeinschaftlichen Teilers anwendet, die Bedingung für eine gemeinschaftliche Wurzel d. h. die Resultante ist alsdann der Rest, der sich am Schlusse einstellt. Das Leibniz'sche Verfahren, das sich auf die Elimination mehrerer Veränderlicher aus einem System linearer Gleichungen gründet, scheint, obwohl es neben der Newton'schen Tabelle die einzige damalige Kenntnis bezüglich der Herstellung der Resultante bildet, De Gua nicht bekannt gewesen zu sein.

Für das Verständnis der analytischen Untersuchungen De Guas bedarf es zunächst einiger Hilfsbetrachtungen.

II. Abschnitt.

Hilfsbetrachtungen.

Die Bildung der Resultante.

13. Die vor De Gua bekannten Methoden sind diejenigen von Newton und Leibniz. Auf die von Newton aufgestellte Tabelle der Resultanten der Gleichungen bis zum dritten Grad (Arithmetica universalis pg. 73) nimmt De Gua öfters Bezug.

Die Reduktionsmethode von Newton.

14. Dieselbe besteht darin, dafs die beiden gegebenen Gleichungen je zu einer dritten von niedererem Grad kombiniert werden, bis man schliesslich zu zwei linearen Gleichungen gelangt: Man berechne aus jeder der beiden gegebenen Gleichungen die höchste Dimension der zu eliminierenden Grösse, nachdem man zuvor nötigenfalls durch Multiplikation mit einer passenden Potenz derselben diejenige der beiden Gleichungen, die niedereren Grades ist, auf den Grad der anderen erhöht hat, und setze diese beiden Werte einander gleich, so hat man eine Gleichung (A) von niedererem Grade; indem man diese wieder mit einer der beiden gegebenen in derselben Weise kombiniert, erhält man eine zweite von niedererem Grade (B), die nun mit jener zuerst abgeleiteten (A) zu kombinieren ist u. s. f.

Erstes Beispiel. Aus den beiden quadratischen Gleichungen

woraus die gemeinschaftliche Wurzel von (1) und (2)

(3)

a(aḥ - cf)2+b(ah — cf) (bf — ag) + c(bf — ag)2 = 0,

oder nach Vereinfachung

(3a)

(ah-cf)2 - (ag — bf) (bh — cg) = 0.

Zweites Beispiel. Die Resultante zweier Gleichungen zweiten und dritten

(3)

(3)

(1)

(2)

womit die Aufgabe zurückgeführt ist auf den eben behandelten Fall zweier quadratischer Gleichungen:

Drittes Beispiel: Die beiden kubischen Gleichungen

ax3 + bx2 + cx + d = 0,

fx3+gx2+hx + k = 0

oder

(3)

oder

(3a)

(bf — ag)x2 + (cf — ah)x + (df — ak) = 0,

(bfag)x+(ef — ah) x2 + (df — ak) x = 0

und somit aus (1) und (3a)

womit die Aufgabe wieder zurückgeführt ist auf den zuerst behandelten Fall zweier quadratischer Gleichungen:

(4) (bbf—ag)—a (cf — ah))x2+(c(bf—ag)—a(df—ak))x+d(bf—ag)=0, (bf — ag) · x2+(cf — ah) · x + df — ak—0.

(3)

Anmerkung: Mit diesen Ergebnissen gelingt die Elimination einer Unbekannten aus zwei Gleichungen mit zwei Veränderlichen bis zum dritten Grade, z. B. aus

(1*) Ax3+Bx2y +Cxy2 +Dy3 +Fx2 +Gxy+Hy2 +Kx +Ly +M = 0, (2*) A'x3+B'x2y+C'xy2+D ́y3+F'x2+G′xy+H'y2+K'x+L'y+M'= 0, indem man sie nach fallenden Potenzen der zu eliminierenden Veränderlichen, etwa x, ordnet, wie folgt

(1a) Ax3+(By+F)x2+(Cy2+Gy+K)x+(Dy3+Hy2+Ly+M) = 0, (2a) A'x3+(B'y+F')x2+(C'y2+G′y+K′)x+(D ́y3+H'y2+L'y+M') = 0, so dass in Übereinstimmung mit (1) und (2) in (4) und (3) zu setzen ist:

Die Methode der unbestimmten Koeffizienten von Leibniz. 15. Hat man zwei Gleichungen desselben Grades, so multipliziere man beide mit einem unbestimmten Ausdruck vom nächst niedereren Grad, der so beschaffen ist, dafs die höchsten Potenzen beider Gleichungen gleiche Koeffizienten und entgegengesetztes Vorzeichen erhalten. Durch Addition der Produkte entsteht eine Gleichung, deren einzelne Terme man gleich Null setze. Man erhält dann eine Gleichung mehr als unbestimmte Koeffizienten vorhanden sind und zwar sind diese Gleichungen linear. Hiermit ist das Problem zurückgeführt auf die Elimination aus einem System von linearen Gleichungen, das Leibniz löst durch eine systematische Bezeichnung der Koeffizienten durch Stellenzeiger, ein Kunstgriff, der Leibniz bekanntlich zum Erfinder der Determinanten gemacht hat (Brill, Jahresberichte der deutschen Mathematiker-Vereinigung 1892/93, pg. 126)..

woraus

oder

(ax2 + bx + c) (fx + α) + (ƒx2 + gx + h) (− ax + ß) = 0,

(aa + fẞ+bf - ag)x2 + (ba + gß + cf — ah)x + ca + hß = 0,

(bf — ag) (bh — cg) + ef (ef — ah) — ah (cf — ah) = 0,

·

·

oder

(6a)

=

(cf — ah) - (ag — bf) (bh — cg)

0.

Meist formt man die Determinante (6) um in die sog. Rückungsdeterminante.

Zweites Beispiel: Entsprechend ergiebt sich die Resultante aus zwei Gleichungen verschiedenen Grades, z. B. vom dritten und zweiten:

indem diejenige niedereren Grades durch Hinzufügen der mit Null behafteten fehlenden Potenzen auf den höheren Grad ergänzt wird. Alsdann ergiebt sich (ax3+bx2+cx+d) (0·x2 + αx+ß)+(0·x3+fx2+gx+h) (ax2+yx+8)= 0,

oder

(aα + af)x2 + (ba + aß + fy + ag)x3 + (ca + bß + gr + fd + ah) x2 + (da + cß + hy + gð)x + (dß + 48) = 0