durch Division des Da der unbestimmte Bruch (1a) seinen Wert Zählers mit dx2 nicht ändert, so ist der Zähler desselben in Übereinstimmung mit der Forderung von Leibniz bezw. De l'Hospital. 3) Isoliertem Punkt im Ursprung: Hiermit stellt also De Gua mit Hilfe der eigenen Differentialmethode die Kriterien für die Doppelpunkte im nächst höheren zweiten Differential d'y auf, wobei sich in Übereinstimmung mit der Subtangentenmethode zeigt, dafs d'y nur im Fall der Koinzidenz der Tangenten unendlich wird. Um dy also die Art eines aus bestimmten mehrfachen Punkts einer Kurve dx d2y dx2 d2 y dx2 f(x, y) = =0 festzustellen, ist zu untersuchen, ob für diesen Punkt endlich, unendlich oder imaginär wird, dem entsprechend ist der Punkt ein gewöhnlicher Doppel-, ein Rückkehr- oder ein isolierter Punkt. Wird ebenfalls unbestimmt, so giebt das dritte Differential d3y den Entscheid, da es sich alsdann um einen dreifachen Punkt handelt, in welcher Weise möge im Folgenden nur für die höchste Singularität des dreifachen Punkts durchgeführt werden. Jedenfalls zeigt die vorstehende kurze, auf wenige ausgezeichnete Punkte beschränkte differentielle Untersuchung, dass, wenn schon die auf d'y gegründeten Kriterien grofse Schwierigkeiten zu überwinden bieten, vollends, sobald es sich um implizite Funktionen höherer Ordnung handelt, die übersichtlichen eindeutigen und hinreichenden Kriterien De Guas, die (vgl. 55 und 73 ff.) für jeden beliebigen vorliegenden Fall nach analytischer Methode rasch aufgestellt werden können, den Vorzug verdienen. Spitzpunkt und Flachpunkt. 89. Die Unvollständigkeit und Zweideutigkeit der von Maupertuis (vgl. 9.) für Spitz- und Flachpunkt aufgestellten Differentialkriterien zeigt De Gua mittels der Subtangentenkurve. Da im Spitzpunkt drei Tangenten sich vereinigen, so gehören zur Abscisse des Spitzpunkts drei gleiche Subtangenten, die, beliebige Lage des Spitzpunkts vorausgesetzt, weder Maxima noch Minima sind. Dem Spitzpunkt entspricht daher ein Wendepunkt der Subtangentenkurve, dessen Ordinate Tangente ist, somit bestehen gemäfs 87. die Bedingungen = O die aus welchen sich zusammen mit der Gleichung der Kurve f(x, y) Spitzpunkte derselben ermitteln. Voraussetzung ist dabei noch, dafs für du einen solchen Punkt d2y, analog von der Ordnung des Exponential dx' Schneidet eine gewöhnliche Tangente die geg. Kurve beiderseitig in noch je einem Punkt und vereinigen sich diese beiden Punkte mit dem Berührungspunkt der Tangente, so entsteht der Flachpunkt. Vom Berührungspunkt aus gerechnet ändert daher nach beiden Seiten hin, auf Grund dieser Entstehung, die Tangente erst beim übernächsten Punkt ihre Richtung d. h. zu drei unendlich wenig verschiedenen Abscissen gehört nur eine Subtangente oder: dem Flachpunkt entspricht ein Wendepunkt der Subtangentenkurve mit einer zur Abscissenaxe parallelen Tangente, wofür gemäfs 87. die Bedingungen lauten welches Ergebnis auch aus der Überlegung folgt, dafs die Ordinaten von vier konsekutiven Kurvenpunkten, nämlich y y + dy y + dy + d (y+dy) = y +2dy + d2y y + 2 dy + d2y + d (y + 2dy + d2y) = y + 3dy + 3d2y + d3y, wenn diese Punkte auf einer Geraden, der Tangente, liegen sollen, dem Proportionallehrsatz zufolge eine arithmetische Reihe y, y+dy, y+2dy, y+3dy bilden müssen, was nur möglich ist, wenn gleichzeitig (2) d2 y = 0 und d3 y = 0. Die Existenz eines jeden aus den Gleichungen (2) und der Gleichung der Kurve f(x, y) = 0 bestimmten Flachpunkts ist somit an eine Bedingung zwischen den Koeffizienten der gegebenen Gleichung geknüpft. IV. Abschnitt. Übungen. Untersuchung der Kurven dritter Ordnung y3 = x3 — ax2 + b2x. Verhalten im Ursprung. 90. Man erhält für x y= = O drei verschiedene Werte x (x2 ax + b2) 0 d. h. der Ursprung ist ein Wendepunkt mit der Ordinatenaxe als Tangente. Die Abscissenaxe schneidet die Kurve aufser im Ursprung noch in zwei weiteren reellen Punkten falls a2 > 4b2. sitzen. Mehrfache Punkte. 91. Eine Kurve dritter Ordnung kann höchstens einen Doppelpunkt beDerselbe ergiebt sich aus Wendepunkt, an seine Stelle tritt ein Doppelpunkt mit zwei zusammenfallenden Tangenten x20 d. h. ein Rückkehrpunkt, dessen Tangente die Ordinatenaxe ist. Im zweiten Fall ergiebt sich der Doppelpunkt als gemeinschaftliche Wurzel zweier quadratischer Gleichungen (5). Die Bedingung hierfür ist das Verschwinden der Resultante dieser Gleichungen, die sich berechnet aus = (26 % 1262 a α a) x+b2 464 2b2 /2b2 a (227 - a) b2 (2b + a) (2b − a) = 0 a 262 O geht der letzte Divisor ax = 0, der die gemein Hieraus folgt: 1) für b schaftliche Wurzel der Gleichungen (5) darstellt, über in ax = 0, woraus entweder x = O d. h. der erste Fall (4) oder a = isolierten Punkt I. Art. Es ist somit nur möglich 2ba0 oder und daher die gemeinschaftliche Wurzel aus a = 2b In beiden Fällen 2b ergiebt sich derselbe Punkt der Abscissenaxe als Doppelpunkt. Die Tangenten desselben bestimmen sich aus dem zweiten De Gua'schen Differential d. h. zwei mit der Ordinatenaxe zusammenfallende Tangenten, also ein Rückkehrpunkt. Wendepunkte. 92. Eliminiert man als gemeinschaftliche Wurzel des ersten und dy dx zweiten Differentials nach De Gua aus Sauerbeck, Gua de Malves. |