81. Für die eben benützte Maximalzahl von Doppelpunkten einer Kurve nter Ordnung Cn sei hier des historischen Interesses wegen der erste von Mac Laurin herrührende Beweis angeschlossen (Geom. organica, pag. 187). Es scheint, dafs Mac Laurin ähnlich wie später De Bragelongne zunächst empirisch auf diese Zahl kam, indem er wohl in den ihm bekannten Maximalzahlen 1 und 3 der Doppelpunkte der Kurven dritter und vierter Ordnung die Anfangsglieder der arithmetischen Reihe zweiter Ordnung 1, 3, 6, 10... in welcher das (n-2) te Glied die höchste Zahl von Doppelpunkten einer C2 darstellt, vermutete, denn er beweist die Richtigkeit der von ihm zu (n − 1) (n 2) angenommenen Maximalzahl von Doppelpunkten einer C indirekt, indem er durch diese Doppelpunkte eine C-2 legt, dann können zur (n-2) (n−2+3) (n − 2) (n + 1)

2

2

2

eindeutigen Bestimmung von C-2, wozu Punkte erforderlich sind (vgl. 72.), aufser den vorhandenen Doppelpunkten der C, die für C-2 einfache Punkte sind, weitere

einfache Punkte auf C Schnittpunkten von Cn Gesamtzahl

2

2

beliebig gewählt werden, die zusammen mit den als und C-2 doppelt zu zählenden Doppelpunkten die

aller Schnittpunkte dieser beiden Kurven ergeben. Besitzt also Cn einen Doppelpunkt mehr, so kann C-2 nur noch durch weitere (n-2) 1 einfache Punkte der C, hindurchgehen, die Gesamtzahl aller Schnittpunkte beider Kurven wäre alsdann

Man bezeichnet die hier von Mac Laurin erstmals benützten Kurven, welche durch die Doppelpunkte gegebener Kurven hindurchgehen, nach dem Vorgang von Herrn von Brill, als adjungierte Kurven. Sie spielen in der analytischen Geometrie, soweit es sich um Schnittpunktsätze handelt, eine wichtige Rolle, so dienen sie insbesondere zur direkten Ermittelung der Maximalzahl von Doppelpunkten einer C und sind mit dem von Clebsch begründeten Begriff des Geschlechts algebraischer Kurven eng verknüpft. Es zeigt sich nämlich, dass, wenn unter den mn Schnittpunkten zweier algebraischer Kurven m- und nter Ordnung (m>n) d Doppelpunkte der Kurve niederer Ordnung sich befinden, eine gewisse Anzahl p dieser Schnittpunkte

n

durch die übrigen mn -p Schnittpunkte mitbestimmt ist (vgl. 72.) und zwar ist diese Zahl

merkwürdigerweise durchaus unabhängig von der Ordnung m der anderen Schnittkurve, vorausgesetzt, dafs m>n ist; die Zahl p repräsentiert somit, auch wenn C mit den verschiedensten Kurven m ter Ordnung in ein Schnittverhältnis tritt, dennoch stets eine einzig und allein C1 angehörige Eigenschaft und wird daher von Clebsch als Geschlecht der Kurve bezeichnet.

n

n

Dan sich nicht ändert, so ist p ein Minimum, wenn d ein Maximum ist, und umgekehrt. Soll C, nicht zerfallen, so kann p nie negativ werden; man erhält also für den kleinsten Wert p O die Maximalzahl der Doppelpunkte einer Kurve n ter Ordnung zu

=

Als Geschlecht der Kurve bezeichnet man daher auch den Unterschied zwischen der höchst möglichen und der wirklich vorhandenen Zahl von Doppelpunkten. Eine Kurve, welche die Maximalzahl von Doppelpunkten besitzt, heifst Kurve vom Geschlecht Null, auch rationale Kurve, da sich ihre Koordinaten explizit als rationale Funktionen desselben Grads einer neuen Veränderlichen darstellen lassen, so dafs an Stelle der ursprünglichen Gleichung f(x, y) = 0 die neuen Gleichungen treten

82. Gemäls 55. folgt für 73. I, dass für jeden Wendepunkt das erste Differential eine Wurzel des zweiten sein mufs. Die Richtung der Wendetangente bestimmt sich aus dem ersten Differential zu

und die Koordinaten der Wendepunkte ergeben sich daher nach Substitution dieser Wurzel (1) in das zweite Differential aus den beiden Gleichungen:

83. Ist (1) auch noch eine Wurzel des dritten Differentials, besteht also aufser (2) noch die Gleichung

so ergeben sich aus den Gleichungen (4), (2), (3) die Koordinaten des Flachpunkts mit einer Bedingung zwischen den Koeffizienten der Kurvengleichung (3), u. s. w.

Vergleich der analytischen und der Differentialmethode bezüglich der Aufsuchung besonderer Kurvenpunkte.

84. Während nach dem damaligen Stand der Wissenschaft für die Ermittelung ausgezeichneter Kurvenpunkte auf differentiellem Weg eine einheitliche Methode fehlte und die Untersuchung fast jedes einzelnen Falles das Aufsuchen neuer Hilfsverfahren erforderlich machte, so dafs man schliefslich deren fünf besafs:

1. das schon von Leibniz eingeführte Differentialdreieck zur Bestimdy mung der Tangentenrichtung dx'

2. das ebenfalls von Leibniz angegebene und später von Fontenelle (Géom. de l'Inf., Paris 1727) genauer begründete Verfahren zur Untersuchung der Konvexität und Konkavität, das zu den Kriterien d3y = 0 bezw. für Wende- und Rückkehrpunkte führte,

3. das ebenfalls von Leibniz aufgefundene und von De l'Hospital weiterhin bekannt gemachte Verfahren zur Ermittelung der Maxima und Minima,

4. das von Bernoulli und De l'Hospital angegebene und von Saurin weiter entwickelte Verfahren zur Ermittelung unbestimmter Werte,

5. die Methode der Subtangentenkurve von De l'Hospital, ein zweites Verfahren zur Ableitung der Kennzeichen für Wende- und Rückkehrpunkte,

gelingt es De Gua, die Kriterien für sämtliche besonderen Kurvenpunkte eindeutig und hinreichend in einfachster Weise mit gänzlicher Vermeidung des Begriffs des Unendlichkleinen einzig und allein mit Hilfe der Analysis des Descartes ebenfalls in Differentialausdrücken sogar der impliziten Form der Kurvengleichung aus einer einzigen Transformation F (u, z) = 0 in 73, I. allgemein zu entwickeln.

Die anschliefsenden kritischen Vergleiche der streng begründeten Regeln De Guas mit den aus den Prinzipien der Differentialrechnung abgeleiteten, aufser für mehrfache Punkte nur noch für Wende-, Rückkehr-, Flach- und Spitzpunkte bekannten, meist ungenügenden Kriterien (Usages pg. 268 ff.) bilden einen glänzenden Beweis für die Überlegenheit der Analysis des Descartes gegenüber der Differentialmethode in analytischen Fragen, die nicht wie die Quadratur und Rektifikation, ihrem Wesen nach die analytische

Behandlung überhaupt ausschliefsen, weil die auftretenden Differentialausdrücke wirkliche Differentiale d. h. unendlich kleine Zuwachsgröfsen darstellen, während sie bei den Untersuchungen De Guas die Rolle unbestimmter Gröfsen im Sinne der Methode der unbestimmten Koeffizienten von Descartes übernehmen.

Doppelpunkt.

85. Das im Journal des Sçavans 1703 erstmals von Saurin angegebene Kriterium für die Doppelpunkte scheint von ihm bei Tangenten

dy 0
dx 0

-

bestimmungen zufällig aufgefunden worden zu sein, wenigstens begründet er dasselbe erst nachträglich (Acad. de Paris 1723) durch die Existenz einer Doppelwurzel der Kurvengleichung für x sowohl als y mit Benützung der Huddeschen Regel, die er mit dem Prozefs der Differentation nach zwei Variabeln identifiziert (vgl. 17.). Eine eigentliche differentielle, auf den Begriff des Unendlichkleinen gestützte Ableitung des obigen Kriteriums aus der Eigenschaft des Doppelpunkts, dafs jede durch ihn gehende Gerade zwei unendlich benachbarte Punkte verbindet, ihr Richtungskoeffizient also unbestimmt ist, so lange sie nicht durch einen dritten unendlich benachbarten Punkt geht d. h. zur Tangente wird, giebt Saurin nicht. Seine Auffassung des Problems auch für k fache Punkte ist durchweg algebraischer Natur und die Berechnung der Tangenten aus dem k ten Differential eine induktive Verallgemeinerung des De l'Hospitalschen Verfahrens der wiederholten Differentiation zur Ermittelung unbestimmter Werte.

Hiermit verglichen gebührt der strengen Ableitung der De Gua'schen Kriterien der Vorzug. Nichts destoweniger ist das Saurinsche Kriterium für Doppelpunkte eindeutig und hinreichend und stimmt mit demjenigen von De Gua überein, sobald es in der Form geschrieben wird

0.dx +0. dy = 0,

0

0

wodurch ein etwaiger Irrtum, wie er bei der Form möglich ist und u. a. von Guisnée thatsächlich begangen wurde, als ob dx und dy selbst verschwinden würden, ausgeschlossen ist.

Über die Unvollständigkeit bezw. Ungenauigkeit der Kriterien mehrfacher Punkte siehe 9, 11.

Wende- und Rückkehrpunkte.

86. Die Zweideutigkeit und Unvollständigkeit der von Leibniz und De l'Hospital aufgestellten Differentialkriterien d2y=0 für Wende- und d2y = ∞ für Rückkehrpunkte bringt schon Guisnée zum Ausdruck (Acad. de Paris

=

1706, pg. 50); auch De Gua weist auf die bestehenden Schwierigkeiten hin z. B. für den Fall einer vertikalen Tangente, wo das Kriterium day nicht nur einen Rückkehrpunkt, sondern mit gleichem Recht einen Wendeoder einen gewöhnlichen Berührungspunkt bezeichnet, so dafs für diese drei Arten von Punkten in dieser besonderen Lage überhaupt kein differentielles Unterscheidungsmerkmal zu bestehen scheint, da auch der erste Differentialdy quotient = ∞ ist. Aber selbst wenn die Differentialkriterien für die Wende- und Rückkehrpunkte in möglichster Vollständigkeit und Eindeutigkeit aufgestellt werden, eine Aufgabe, der sich erstmals De Gua unterzieht, so ermangeln sie der Einfachheit und Übersichtlichkeit, durch welche sich die Kriterien De Guas auszeichnen.

dx

Zur Lösung der letztgenannten Aufgabe benutzt De Gua das Verfahren von De l'Hospital (vgl. 7.): Nimmt man die vom Ursprung aus gemessenen Abschnitte, welche die Tangenten einer Kurve auf der Abscissenaxe erzeugen, die sog. Subtangenten

wo (x, y) die Koordinaten des Berührungspunkts sind, zu neuen Ordinaten (unter Beibehaltung der zugehörigen Abscissen der Berührungspunkte), so bilden die erhaltenen Endpunkte eine neue Kurve, die Subtangentenkurve, welche die Beziehungen zwischen den Abscissen und Subtangenten der Punkte der ursprünglichen Kurve graphisch darstellt. De l'Hospital findet nun, dass für Wendepunkte Maxima und Minima der Subtangente, für Rückkehrpunkte solche der Abscisse auftreten, und bestimmt, obwohl seine für Maxima wie für Minima ohne Unterschied aufgestellten Kriterien dy 0 oder keine näheren Angaben enthalten, wann der eine oder der andere dieser Werte zu nehmen ist, das Kriterium für

Dieser nicht zu verleugnenden Willkürlichkeit gegenüber giebt De Gua folgende scharfe Begründung:

Da die beiden einem Wendepunkt unendlich benachbarten Punkte einer Kurve dieselbe Subtangente haben, die jedoch von derjenigen durch die Wendetangente abgeschnittenen nur unendlich wenig verschieden ist, so entspricht jedem Wendepunkt der ursprünglichen Kurve ein bezüglich der Abscissenaxe höchst oder tiefst gelegener Punkt der Subtangentenkurve, bestimmt durch 0; dagegen gehören zu den unendlich benachbarten

du

dx