willkürlichen Vermuthungen. Man kann aber die Sache streng mathematisch zu Ende führen. Es ist schon von früheren Bearbeitern darauf hingewiesen, daß die der Rechnung zu Grunde liegenden Voraussetzungen, welche ja in Wirklichkeit immer nur angenähert zutreffen, dann ganz gewiß in hohem Gradé unzutreffend sind, wenn dieselben Lufttheilchen das Geschoß mehrere Mal treffen. Daraus folgt aber, daß mit wachsender Ordinate y die Abscisse x der Curve nicht abnehmen darf; denn sonst würden trichterförmige oder ringförmige Vertiefungen in der Oberfläche entstehen, bei denen ein wiederholtes Anprallen der Lufttheilchen unvermeidlich wäre, welches eine bedeutende Vermehrung des Widerstandes zur Folge hätte. Es ist hiernach als unerläßliche Bedingung für eine brauchbare Lösung des Problems aufzustellen, daß für q nur positive Werthe zuzulassen sind, mit Einschluß der Null. Hierdurch werden Meridiancurven von der Form in Figur 1 und 2 von vornherein ausgeschlossen, und wenn y, und y,, die Ordinaten der gegebenen Endpunkte, verschieden sind, ist es nicht mehr möglich, den Widerstand beliebig klein zu machen, da man 1 : (1+q2) nicht mehr durchweg, bis auf einzelne Stellen, beliebig klein machen kann. Der Fall, daß y, gleich y, ist, kommt nicht in Betracht; denn es versteht sich von selbst, daß alsdann die Minimalcurve die der Are parallele Gerade AB und die Oberfläche eine cylindrische ist, welche den Widerstand Null ergiebt. Nimmt man also die von uns ausgesprochene Bedingung q>0 hinzu, so muß es stets eine Minimalcurve geben. ist, Wir wollen nun diese Minimalcurve vollständig bestimmen, verallgemeinern aber zunächst das analytische Problem ein wenig, indem wir statt der Bedingung q>0 fordern, daß q> a sei. a soll eine Constante bedeuten, welche kleiner als wo x, y, und x, y, die Coordinaten der gegebenen Punkte A und B sind, von denen wir festseßen, daß y,>y, sei, so daß auch x,>x, sein muß. Dann ist A der der Are nähere und weiter nach vorn gelegene der beiden gegebenen Punkte. Wäre so wäre eine Verbindung beider Punkte durch eine Curve, für welche q>a ist, unmöglich. Es ist also zu untersuchen, für welche Wahl der Curve zwischen A und B das Integral Curve A und B verbinden soll, so muß noch die Bedingung er Ist irgend eine Verbindung zwischen A und B gegeben, so ist dadurch q als Function von y der Bedingung II entsprechend bestimmt. Diese Function braucht aber nicht für das ganze Intervall demselben analytischen Gesetze zu folgen, sondern sie kann für verschiedene Theilintervalle verschieden sein, sie darf auch für irgend welche Theilintervalle constant sein. Wir verändern nun den Weg dadurch, daß wir die Function q durch q+ ersetzen, wo eine beliebige Function bedeutet, welcher wir in dem ganzen Intervall beliebige, also auch beliebig kleine Werthe beilegen können. Damit auch die Nachbarcurve durch A und B gehe, muß Für die Nachbarcurve geht w in w, über, und es ist Multipliciren wir die Gleichungen II und III mit der Constanten 2c und addiren sie beziehungsweise zu den Gleichungen I und IV, so kommt Soll die zweite Curve von der ersten unendlich wenig verschieden sein, so muß im Allgemeinen unendlich klein sein. Nur wenn in der ersten Curve für irgend eine Ordinate y. q plöglich seinen Werth ändert, so darf auch in der Nähe von y, endliche Werthe haben, und es muß sie haben für ein unendlich kleines Intervall zwischen y. und y. +4y。, wenn (q+ø) nicht mehr für die Ordinate y., sondern für die Nachbarordinate y. +4y, un stetig sein soll. 1 Ist aber hinreichend klein, so können wir 1+ (q+)° mit Hülfe des Taylorschen Lehrsatzes entwickeln. Ist f (q)= 1 1+q2 und es sind diese Werthe, ebenso wie die Ordinaten, stets endlich; also wird Soll nun die erste Curve Minimalcurve sein, so muß (w, — w) für jeden Werth von 4, welcher der Bedingung IIIa entspricht, sonst aber beliebig gewählt werden kann, positiv sein, mithin auch für unendlich kleine Werthe von 4. Nun find solche Stellen der Curve, für welche q>a ist, zu unterscheiden von solchen Stellen, für welche q = a ist. So lange q> a ist, kann man der Function & sowohl positive, als negative Werthe ertheilen, um zur Nachbarcurve überzugehen, und da für hinreichend kleine Werthe von 2 gegen verschwindet, und das Integral V dasselbe Vorzeichen hat, wie die Klammer unter dem Integralzeichen denn dy ist positiv, so muß der Factor der ersten Potenz von in dieser Klammer Null sein, also Damit aber alsdann (w, — w) positiv sei, muß außerdem der Factor von 2 in der Klammer positiv sein, also tritt zur Gleichung VI noch die Bedingung hinzu: Durch die Gleichung VI, welche wir auch schreiben können: ist eine Curve bestimmt, da dx = q dy ist. Man findet: wo c, die Integrationsconstante bedeutet. Durch die Gleichungen VI und VIII sind die Coordinaten eines veränderlichen Punktes als eindeutige Functionen von q bestimmt, und zwar für jede Wahl der Constanten e und c,. Diese Gleichungen definiren also eine Curvengattung, deren einzelne Curven als krummlinige Bestandtheile einer Minimalcurve angehören können. Andere als folche Curven können dagegen nicht als krummlinige Bestandtheile der Minimalcurve auftreten. Die hier gefundene Curvengattung ist die bereits von Newton angegebene. Will man sie der Form nach ebenso darstellen, wie dies in den früheren Arbeiten geschehen p ist, so hat man nur für q einzufeßen 1. Die Constante c, ist für die Gestalt der Curve unwesentlich. Ihrer Veränderung entspricht eine Verschiebung der ganzen Curve parallel der x-Are. Die Constante e möge der Parameter der Curve genannt werden. Zwei Curven mit verschiedenen Parametern sind ähnlich und ähnlich liegend. Den (äußeren) Aehnlichkeitspunkt findet man, wenn man der Variablen q für beide Curven gleiche Werthe ertheilt, die so erhaltenen entsprechenden Curvenpunkte verbindet und den Durchschnittspunkt dieser Verbindungslinie mit der x-Axe bestimmt. Jede solche Curve besißt eine Spiße für q= derselben sind 1 V3 Die Coordinaten c 16 3√3 Da q gleich tg ist, so ist für die Spiße 30°; d. h. die Rückkehrtangente bildet mit der y-Are einen Winkel von 30°, mit der x-Are einen solchen von 60°. 1 V3 Die beiden Aeste, welche von der Spiße ausgehen, gehen ohne Asymptote ins Unendliche. Für den der x-Are näheren Ast ist Seine Tangente wird immer mehr parallel der x-Are, und der Ast ist nach der x-Are zu concav. Nur Bogen, welche diesem Aste angehören, können Bestandtheile der Minimalcurve sein und sollen deshalb künftig kurz als Bogen einer Newtonschen Minimalcurve bezeichnet werden. anderen Ast ist q 1 V3 Für den er ist nach der entgegengesetzten Seite concav und geht parallel der y - Are ins Unendliche. Seine Bogen sind unter gewissen Bedingungen Bestandtheile einer Marimalcurve; wir können sie für unsere Untersuchungen außer Betracht lassen. (Man vergleiche Figur 3.) Der Krümmungs = (x'2+y'2) x'y"-y'x" in welcher radius ergiebt sich durch die Formel o die Differentiation nach q durch Striche angedeutet ist. Man |