étant divisées l'une par l'autre, donnent tout d'abord cette autre relation connue,

cot sin B=

cos a COS
b cos c
sin a sin c

On pourrait, par de semblables artifices de calcul, trouver beaucoup d'autres relations trigonométriques, mais qui seraient plus curieuses qu'utiles.

83. 4 CAS. Etant donnés deux angles A, B et le côté c compris, résoudre le triangle.

La solution relative à ce cas est toute pareille à la précédente; ainsi on aura les deux côtés a, h par les formules de Néper, savoir:

Ayant déterminé a et b, on trouvera sin C par l'équation.....

sin C=

sin c sin A

sin a

ou directement par la formule

Pour trouver l'expression du sinus ou de la tangente de l'arc perpendiculaire au côté c en fonction des données actuelles, procédez comme dans le cas précédent, ou, ce qui est plus simple, transférez au triangle polaire les résultats ci-dessus (art. 79).

84. 5 CAS. Etant donnés deux côtés a, b et l'angle A opposé au premier côté, trouver le troisième côté c et les deux autres angles B, C.

L'angle inconnu B s'obtiendra par la formule sin B=

sin A sin b
; et

sin a

pour trouver l'angle C, on aura à résoudre l'équation

cot A sin C+ cos Ccos bcot a sin b,

qui monterait au second degré si l'on y mettait pour cos C sa valeur Vī — sin' C, et qui fournirait par conséquent deux racines. Ainsi le problème proposé est susceptible de deux solutions. Mais au lieu de suivre cette voie, il est plus simple d'introduire dans le premier membre de l'équation un angle auxiliaire , tel qu'on ait

M sin (C+9)= cot a sin b.

Pour déterminer cet angle ainsi que le coefficient M, développons et comparons terme à terme les deux membres de ces équations,

ici 1o

est l'angle au sommet C du triangle formé par le côté b et la perpendiculaire abaissée sur la base c (art. 61). Lorsqu'on substitue pour cos b sa valeur déduite de la seconde relation (e), on a

ou bien en n'employant que les données primitives, par la formule cos b cos c+cos A sin b sin c = cos a,

à l'aide d'un arc subsidiaire p donné par l'équation tang p=cos Atang b. Cet arc, qui est le segment adjacent à l'angle A, et qui se trouve formé par la perpendiculaire abaissée de l'angle C sur le côté opposé,

peut s'exprimer analytiquement de plusieurs manières différentes, selon les données du problème; par exemple, si les trois côtés sont connus, on aura

c'est ce qu'il est aisé de voir. Il n'est pas plus difficile de recon

naître que

tang?=

tang A cot B + cos c

cot A sin B coséc a cos b

cot B sin A+ cos c cos A Le même segment pourrait aussi s'exprimer en fonction des trois angles.

85. 6 CAS. Étant donnés deux angles A et B avec le côté a opposé au premier, trouver les deux autres côtés b, c et le troisième angle C.

La solution de ce problème se déduit de la précédente par la propriété d'un triangle polaire; ainsi on aura le côté b par l'équation sin b= et le côté c par la formule

sin a sin B

sin A

Ce problème est, comme le précédent, susceptible de deux solutions (art. 60). Voyez la Trigonométrie de M. Legendre, pour savoir distinguer dans ces deux cas si parmi des valeurs particulières des quantités données, il existe deux triangles qui satisfont à la question, ou seulement un seul. Ici nous supposons les cas les plus généraux.

86. Si l'on connaissait deux angles A, B, ainsi que les deux côtés opposés a, b, et qu'on voulût déterminer immédiatement le troisième angle C, on pourrait transformer la relation

qu'on obtient en multipliant le second membre de la première, haut et bas, par sin C; et de là on aurait

sin A sin (a+b)

cot C = 2sin a cos(A+B) cos ¦ (A — B)'

Si on voulait l'angle Cpar son cosinus, il faudrait de l'équation

éliminer cos c = cos a cos b+ sin a sin b cos C, et l'on aurait, mais d'une manière beaucoup moins commode pour les logarithmes,

Lorsqu'on multiplie entre elles les valeurs ci-dessus de tang C et cot C, on a de suite la relation

Dans les applications numériques, il faudra, pour éviter les solutions inutiles ou fausses, avoir égard aux signes des lignes trigonométriques (art. 46), et se rappeler les trois règles suivantes :

1. Tout angle ou tout côté d'un triangle sphérique doit être plus petit que deux quadrans;

2o. Les plus grands angles sont opposés aux plus grands côtés, et réciproquement;

3°. Enfin, un angle ou un côté d'un triangle sphérique ne peut être négatif.

De quelques propriétés remarquables du triangle sphérique, et notamment de diverses expressions de sa surface.

87. Il existe une propriété du triangle sphérique de laquelle on déduit immédiatement une relation entre les trois angles et deux côtés. Cette propriété est que si on divise en deux parties égales, par des arcs de grand cercle, chacun des angles d'un triangle sphérique, ces arcs se couperont au même point.

Supposons que les arcs Aa, Cc (fig. 15), divisent en deux parties égales les angles A, C, et se coupent au point R; il s'agit de prouver que l'arc de grand cercle BRb divisera aussi en deux parties égales l'angle B.

Or, les deux triangles CAR, RAc, donnent