CHAPITRE XVII.

Usage des formules différentielles trigonométriques, pour corriger les positions géographiques provisoires des points principaux d'une carte.

204.

Les élémens des calculs trigonométriques sont si multipliés, lorsqu'on a une longue suite de triangles à résoudre, qu'il n'est pas rare de commettre quelqu'erreur sur la longueur des coordonnées des extrémités des côtés. Cependant, comme c'est de l'exactitude de ces mêmes coordonnées que dépend celle des latitudes, longitudes et azimuts des objets terrestres, et réciproquement, il est important de vérifier les résultats obtenus en premier lieu, et de connaître les relations qui existent entre les quantités susceptibles d'éprouver des variations; afin que, si l'on se trouve dans la nécessité d'altérer quelques-unes d'elles, soit par suite de meilleures observations, soit à cause de quelques erreurs primitives, on puisse, de la manière la plus simple, évaluer les corrections qu'éprouvent les autres quantités en vertu de ces altérations.

Par exemple Trouver l'effet que produit sur la latitude, la longitude et l'azimut, une petite variation dans les distances d'un point à la méridienne et à sa perpendiculaire.

Supposons que l'abscisse x reçoive un petit accroissement dx, que soit son rayon de courbure à la latitude H', et que dH' désigne l'amplitude de dx; on aura évidemment

Cette valeur de dH' se prendra positivement ou négativement, selon que dx s'étendra vers le nord ou vers le sud.

Maintenant, si l'on différencie l'équat. (a") de l'art. 196, par rapport à y seulement, on aura, en négligeant le dernier terme relatif à l'excentricité de la Terre,

La correction de la latitude du sommet de la perpendiculaire est donc négative, quand la variation de cette perpendiculaire est positive.

L'équat. (b") fournit, par le même procédé,

On trouverait avec autant de facilité des relations entre dy et chacune des variations dH', dP, dz', dans le cas où la latitude H du pied de la perpendiculaire serait elle-même variable; mais il est plus commode alors de refaire en entier le calcul des formules.

205. Cette méthode ayant seulement rapport aux petites variations dans les distances d'un point à la méridienne et à sa perpendiculaire, il faut résoudre le problème plus généralement. Supposons d'abord, que les latitudes et longitudes de tous les points principaux d'un réseau trigonométrique aient été calculées à l'aide d'un azimut provisoire; il s'agit de faire à ces latitudes et longitudes les corrections dues à l'erreur commise sur cet azimut, sans recourir pour cela aux formules de l'art. 195, ni à d'autres qui pourraient remplir le même but.

Comme les distances entre les points trigonométriques sont censées avoir été déterminées exactement, la nouvelle orientation s'effectue sur-le-champ, en faisant tourner tout le réseau autour du point où l'on a observé l'azimut, d'une quantité angulaire égale à la différence de l'azimut vrai à l'azimut approché. En effet, soit A (fig. 45) le lieu de l'observation, B un sommet quelconque de triangle, et Cle pôle de la Terre que l'on peut supposer sphérique dans cette circonstance. Si, en vertu de la variation observée dans l'angle BAC, le point B doit être transporté en B'; tout autre point ₺ lié invaria

blement au premier, sera, par suite du mouvement commun autour de A, transporté en b'; et l'angle bAb' qui est égal à BAB' sera la variation d'azimut, variation que nous supposerons de quelques secondes seulement. La question, envisagée sous ce point de vue, est donc ramenée à chercher les équations différentielles d'un triangle sphérique, dans lequel un angle est variable et les deux côtés qui le comprennent sont constans.

Soit ABC ce triangle, et a, b, c les côtés opposés aux angles de mêmes dénominations; on aura

Si l'on différencie les deux premières équations, en faisant varier A, a et C, et regardant b, c comme constans, on aura

da sin a dA sin A sin b sin c,

da sin a cos b + da cos a sin b cos C- dC sin C sin a sin b.

sin a sin C
sin A

: mettant

Mais de la troisième équation, l'on tire sin c=
cette valeur dans la première équation différentielle, on obtient

dad sin b sin C (m);

et introduisant cette valeur dans la seconde, on a

dc-cos b (1

cos b (1 — cot a tang b cos C) dA

(n).

Soit maintenant H la latitude vraie du point ; H' la latitude approchée du point B; Z l'azimut approché du côté BA, observé sur l'horizon de A, et compté du sud à l'ouest depuis o jusqu'à 400o; enfin, P' la différence approchée des longitudes des points les formules de correction (m) et (n) seront respectivement

et B:

puisqu'à la scule inspection de la figure, on voit que da =— dH',

latitude vraie du point BH'+dH',
P'+dP'.

différence de longitude des points A et B L'emploi de ces formules n'est sujet à aucune difficulté ; j'observerai seulement que la variation d'azimut d'Z doit être prise avec son signe, et que Z doit ici se compter du sud à l'est ce serait le contraire s'il s'agissait du point b.

206. Cherchons maintenant la variation d'un azimut quelconque pris sur l'horizon du point à rectifier et déduit du premier.

Soient toujours b, c, les deux côtés constans, et l'angle variable du triangle sphérique ABC; dA la variation de l'azimut de départ, et dB celle de l'azimut au point B: on parviendra à trouver le rapport de dA à dB, en différenciant l'équation

cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B;

opération qui donne d'abord, après avoir mis à la place de sin c cos B, sa valeur déduite de cette même équation,

Soit donc Z l'azimut pris du point

sin b cos C

sin a

et compté du sud à l'ouest, Z' un de ceux qui ont été conclus de celui-ci et qui se trouvent sur l'horizon de B; on aura, en vertu de cette formule, et désignant d'ailleurs par H, H' les latitudes de ces deux points, par P' leur différence en longitude,

parce que Z et Z' croissent ou décroissent en même tems. Ainsi sans repasser par tous les azimuts intermédiaires, on assignera surle-champ la correction à faire à un azimut quelconque, par suite d'un très petit changement survenu dans celui de départ.

Telle est la relation entre la variation d'azimut de départ et celle de longitude du point que l'on considère.

Examinons maintenant le cas où la latitude et la longitude du lieu principal d'une carte éprouvent une petite correction, et cherchons l'influence de ces deux corrections sur les positions géographiques de tous les autres points du réseau.

D'abord il est évident que si la longitude absolue du lieu principal A, augmentait d'une quantité quelconque, les longitudes de tous les autres points du réseau, et comptées toujours dans le même sens, augmenteraient de la même quantité. Il reste donc à faire connaître le moyen de corriger tant les latitudes et les longitudes de ces mêmes points, que les azimuts conclus, lorsqu'il existe seulement une petite variation dans la latitude du point

.

Pour cet effet, l'on regardera c, A comme constans dans le triangle ABC, et l'on aura, par la méthode de l'art. 195,

sin C

sin a

sin C

tang a'

Mais, à cause de b— 100 — H, a = 100—H', C=P', dB——dZ', et de ce que H, H', P' croissent en même tems que Z' diminue, l'on a, pour la variation