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l'angle, pourvu qu'on ne néglige pas de tenir compte des circonférences entières parcourues.

116. Il existe un autre procédé pour mesurer un angle avec le cercle répétiteur; le voici. Au lieu de faire des observations croisées, comme ci-dessus, on fixe d'abord la lunette supérieure à zéro, et on la dirige sur l'objet à droite, ensuite on y amène la lunette inférieure, qui ne sert plus alors que de repère; et sans faire tourner le limbe, on pointe la lunette supérieure, rendue libre, sur l'objet à gauche, ensuite on la fixe. De cette manière, l'angle est mesuré exactement par l'arc que cette lunette a parcouru lorsqu'elle n'a point d'excentricité, c'est-à-dire quand le plan mené par l'axe Y du cercle (pl. III) contient en entier l'axe ab de cette même lunette. Si l'on veut continuer d'observer l'angle proposé, pour compenser les erreurs du pointé, et atténuer sur-tout celles des divisions du limbe, on fera tourner l'instrument en désengrenant la vis tangente, afin de ramener la lunette supérieure sur l'objet à droite, et on l'y fixera. On y ramènera la lunette inférieure pour la faire servir de repère, et ensuite on dirigera, comme la première fois, la lunette supérieure, rendue libre, sur l'objet à gauche. Alors la ligne de foi du vernier de cette lunette marquera le double de l'angle observé. On peut continuer d'opérer de la même manière pour avoir le triple, le quadruple, etc., de cet angle; mais ce procédé exige évidemment plus de tems que par les observations croisées, lorsqu'on veut atteindre le même degré de précision.

117. Dans les grands cercles, la lunette supérieure entraîne ordinairement 4 verniers disposés à angles droits, ou à peu près, afin de pouvoir lire sur quatre points différens de la circonférence du limbe, et obtenir par là une moyenne plus indépendante des erreurs de la division et de celles de la lecture. Supposons, par exemple, qu'on lise les quantités suivantes au commencement de l'opération:

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et qu'après la dixième observation de l'angle, ces verniers marquent respectivement les nombres suivans, en tenant compte des circonférences entières parcourues durant la série,

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on prendra le complément à l'unité, des parties décimales comprises dans la ligne (a), toutes les fois qu'elles appartiendront à des nombres au-dessous de 100, 200 ou 300; et l'on affectera tous les restes du signe négatif. Ici l'on aura

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On procédera de même par rapport aux parties décimales comprises dans la ligne (b), si les nombres dont elles dépendent n'ont pas tous le même chiffre aux unités. Or, dans le cas actuel, cette circonstance n'ayant pas lieu, on a

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Ensuite on fera une somme des fractions (a'), qui sera + 0,025, que l'on retranchera de celle des fractions (b'), c'est-à-dire de +0,425; puis l'on divisera le reste +0,400 par 4, et le quotient +0,100 sera la partie décimale à ajouter au nombre 548; de sorte que le décuple de l'angle mesuré sera définitivement 548,100; donc l'angle simple =54,810.

On voit clairement par cette méthode, qui est générale, que le quart de la somme des nombres de la ligne (a') marque le point de départ d'un vernier moyen parcourant l'are moyen entre les quatre; tandis que le quart de la somme des nombres de la ligne (b') désigne le point d'arrivée de ce même vernier.

Mais il y a moyen de simplifier un peu le calcul précédent. Pour cela, ajoutez toutes les décimales de la ligne (a'), et ôtez de la somme autant d'unités qu'il se trouvera de verniers marquant moins de 100, ou 200 ou 300: ici l'on a 0,025.

Ajoutez de même toutes les décimales de la ligne (b), et ôtez de la somme, ou ajoutez-y autant d'unités qu'il y aura de nombres où le chiffre des unités aura une valeur moindre ou plus forte que celui qui se trouve dans le nombre marqué par la ligne de foi du premier vernier. Enfin, de cette somme, ainsi diminuée ou augmentée s'il est nécessaire, soustrayez la première et divisez le reste par 4, c'est

à-dire par le nombre des verniers; le quotient sera la partie décimale moyenne cherchée.

Voici le cas. Au commencement les verniers marquaient

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à la fin de la dixième observation, ils indiquaient

5325,001, 6315,998, 7325,003, 8325,002.

Or, dans la première ligne, la somme des décimales diminuée de l'unité..

dans la deuxième ligne, cette somme diminué de l'unité

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0,002 = 0,004

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Autre exemple. Au commencement, les verniers marquaient

0,000,

100,001, 199,998, 300,003;

à la fin de la dixième observation l'on avait

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Or, la somme des premières fractions diminuée d'une unité = 0,002 celle des secondes fractions augmentée d'une unité.

différence.

3,992

3,990

0,9975

4218,9975

4215,9975, et angle mesuré

10

de là arc parcouru = 42,19975. On peut aussi se dispenser de faire la soustraction indiquée, en prenant le complément arithmétique et à l'unité de la somme des parties décimales marquées par le vernier au commencement de la série; ou, ce qui revient au même et ce qui est plus simple, on lit le vernier à contre-sens, en mettant par la pensée 10 à la place de zéro, et réciproquement. Bien entendu qu'il faut alors ôter du résultat autant d'unités qu'on a pris de complémens, si les verniers marquent des nombres au-dessus de 100, 200 et 300.

A moins qu'on ait peu de tems pour observer, il est toujours utile de noter tous les angles d'une même série, afin de pouvoir s'assurer de l'uniformité de sa marche. Voici l'ordre que l'on peut suivre à cet égard :

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Il n'est pas nécessaire de lire les quatre verniers chaque fois qu'on veut inscrire un angle multiple; i lsuffit de les observer au commencement et à la fin de la série, comme dans le tableau précédent. Ainsi, les fractions décimales des nombres de la seconde colonne ont seulement été indiquées par le premier vernier, à l'exception de celles du dernier nombre 1173,89752, qui sont le résultat de la combinaison des fractions insérées dans les deux dernières colonnes; combinaison faite d'après la troisième méthode exposée ci-dessus.

Il n'arrive pas toujours que les séries de cette espèce soient aussi régulières que la précédente; car les vapeurs qui s'élèvent quelquefois durant l'observation, par l'action d'un soleil ardent, produisent des ondulations qui font paraître les objets mobiles, et qui nuisent par conséquent à l'exactitude du pointé. De la ces anomalies qu'on remarque dans les séries d'un même angle. En général, les meilleures observations ont lieu pendant l'absence du soleil.

118. Dans les triangulations du premier ordre, il est convenable de prendre plusieurs séries d'un même angle à des jours différens ; mais 3 séries. de 20 observations, chacune prise dans les circonstances favorables et avec un cercle de 35 centimètres de diamètre,

sont toujours suffisantes. Néanmoins, comme le plus souvent elles different entre elles, on en prend la moyenne arithmétique.

Il n'est peut-être pas inutile de dire qu'on entend par moyenne arithmétique, le quotient qu'on obtient en divisant par le nombre total des observations la somme des produits du nombre des observations d'une même série, multiplié par l'arc parcouru sur le limbe. Si, par exemple, n est le nombre des observations de la première série, et A l'arc parcouru; que n' et A' soient relatifs à la seconde série; que n" et " se rapportent à la troisième série; l'angle nA + n'A' + n"A" moyen sera En faisant chaque série d'un même nombre d'observations, la règle est plus simple, puisqu'il ne s'agit que de diviser la somme des résultats par leur nombre.

n+n+n'

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De la mesure des distances zénitales.

119. La distance au zénit d'un objet est le complément de sa hauteur angulaire, ou sa dépression augmentée de 100 grades, ou, ce qui revient au même, l'angle entre cet objet et le zénit de l'observateur. Avant d'observer une distance zénitale, on mettra le limbe du cercle dans une situation verticale ainsi qu'il suit.

On disposera l'axe Y du limbe (pl. VI et V) dans une position à peu près horizontale, en desserrant la pince du quart de cercle et en renversant le limbe: ensuite, après avoir amené la bulle d'air du grand niveau df au milieu du tube, ce qui se fera d'abord en rendant libre la lunette inférieure, puis serrant son agrafe et faisant usage de sa vis de rappel, on fera tourner tout l'instrument sur sa colonne S, de manière que l'index, ou la ligne de foi du cercle azimutal zz', partant de la ligne de division qui se trouve vis-à-vis un des pieds de l'instrument, de par exemple, parcoure une demi-circonférence. Si, dans cette état, la bulle d'air, après quelques oscillations, ne se fixe pas d'elle-même au milieu du tube, l'axe de la colonne ne sera pas dans un plan vertical; alors on fera la correction moitié avec la vis du pied qui se trouve précisément au-dessous du grand niveau, moitié avec la vis de rappel R' de la lunette inférieure.

On ramènera l'index du cercle azimutal au point de départ; et si, dans cette première position, la bulle ne conserve pas le milieu du tube, on fera la correction qui vient d'être indiquée. On continuera cette épreuve jusqu'à ce que la bulle revienne d'elle-même entre ses

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