Lehrbuch der Analysis

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Springer-Verlag, 26.02.2009 - 643 Seiten
1 Rezension
Mit dem "Heuser", dem ausführlichen Klassiker unter den Analysis-Lehrbüchern, werden seit 1980 Generationen von Mathematik-Anfängern mit den Grundlagen der Analysis bekannt gemacht und behutsam in die Denkweise der Mathematik eingeführt. Die "praktischen" Auswirkungen der Theorie werden an zahlreichen, mit Bedacht ausgewählten Beispielen aus den verschiedensten Wissens- und Lebensgebieten demonstriert: u.a. aus Physik, Chemie, Biologie, Psychologie, Medizin, Wirtschaftswissenschaft und Technik.
 

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Inhalt

Einleitung
12
Mengen und Zahlen 1 Mengen und ihre Verknüpfungen
17
Vorbemerkungen über die reellen Zahlen
26
Die axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen
32
Folgerungen aus den Körperaxiomen
39
Folgerungen aus den Ordnungsaxiomen
44
Die natürlichen ganzen und rationalen Zahlen
48
Rekursive Definitionen und induktive Beweise Kombinatorik
52
Schwingungen Weitere Eigenschaften der Winkelfunktionen
334
Symbiotische und destruktive Prozesse
342
Konvexe und konkave Funktionen als Quelle fundamentaler Un gleichungen
351
Der Taylorsche Satz und Potenzreihen 60 Der Mittelwertsatz für höhere Differenzen
353
Beispiele für Taylorsche Entwicklungen
358
Potenzreihen
362
Die Summenfunktion einer Potenzreihe
367
Der Abelsche Grenzwertsatz
379

Folgerungen aus dem Schnittaxiom
70
Die Potenz mit rationalem Exponenten
77
Abstand und Betrag
81
Das Summen und Produktzeichen
89
Einige nützliche Ungleichungen
95
Funktionen 13 Der Funktionsbegriff
102
Reellwertige Funktionen Funktionenräume undalgebren
111
Polynome und rationale Funktionen
122
Interpolation
128
Der Differenzenoperator Lineare Abbildungen
130
Der Interpolationsfehler
135
Mengenvergleiche
137
Grenzwerte von Zahlenfolgen 20 Der Grenzwertbegriff
142
Beispiele konvergenter und divergenter Folgen
147
Das Rechnen mit konvergenten Folgen
152
Vier Prinzipien der Konvergenztheorie
155
Die Dezimalbruchdarstellung der reellen Zahlen
161
Die allgemeine Potenz und der Logarithmus
163
Veränderungsprozesse und Exponentialfunktion
168
Der Cauchysche Grenzwertsatz
176
Häufungswerte einer Zahlenfolge
179
Uneigentliche Grenzwerte Häufungswerte und Grenzen
183
Unendliche Reihen 30 Begriff der unendlichen Reihe
187
Konvergente und absolut konvergente Reihen
189
Das Rechnen mit konvergenten Reihen
195
Konvergenz und Divergenzkriterien
203
Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen 34 Einfache Eigenschaften stetiger Funktionen
212
Fixpunkt und Zwischenwertsätze für stetige Funktionen
220
Stetige Funktionen auf kompakten Mengen
224
Der Umkehrsatz für streng monotone Funktionen
231
Grenzwerte von Funktionen für f
233
Einseitige Grenzwerte
238
Die Oszillation einer beschränkten Funktion
241
Grenzwerte von Funktionen für x
243
Das Rechnen mit Grenzwerten
245
Uneigentliche Grenzwerte
246
Vereinheitlichung der Grenzwertdefinitionen Netze
249
Doppelreihen
256
Differenzierbare Funktionen 46 Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion
260
Differentiationsregeln
270
Die Differentiation elementarer Funktionen Winkelfunktionen
273
Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung
279
Die Regel von de lHospital
286
Anwendungen 51 Nochmals der Interpolationsfehler
291
Kurvendiskussion
293
Hyperbelfunktionen Hochspannungsleitungen Tempelsäulen
296
Extremalprobleme
303
Exponentielle autokatalytische und logistische Prozesse Epide mien Das psychophysische Grundgesetz Mathematische Erfas sung von Naturvorgängen
309
Fall und Wurf Raketenflug und Vollbremsung
324
Die Division von Potenzreihen
386
Die Existenz der W nkelfunktionen
391
Potenzreihen im Komplexen
393
Der Nullstellensatz für Polynome und die Partialbruch zerlegung rationaler Funktionen
398
Anwendungen 70 Das Newtonsche Verfahren
406
Bernoullische Zahlen und Bernoullische Polynome
410
Gedämpfte freie Schwingungen
413
Die homogene lineare Differentialgleichung rtter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
422
Die inhomogene lineare Differentialgleichung nter Ordnung mit konstanten Koeffizienten und speziellen Störgliedern
426
Resonanz
430
Integration
434
Unbestimmte Integrale
435
Regeln der unbestimmten Integration
438
Die Integration der rationalen Funktionen
445
Das Riemannsche Integral
447
Arbeit und Flächeninhalt
457
Stammfunktionen stetiger Funktionen
460
Die Darbouxschen Integrale
464
Das Riemannsche Integrabilitätskriterium
469
Das Lebesguesche Integrabilitätskriterium
471
Integralungleichungen und Mittelwertsätze
475
Nochmals das Integral J fdf mit variabler oberer Grenze
479
Uneigentliche und RiemannStieltjessche Integrale 87 Integrale über unbeschränkte Intervalle
480
Das Integralkriterium
483
Integrale von unbeschränkten Funktionen
485
Definition und einfache Eigenschaften des RiemannStielt jesschen Integrals
489
Funktionen von beschränkter Variation
493
Existenzsätze für RSIntegrale
499
Mittelwertsätze für RSIntegrale
502
Anwendungen 94 Das Wallissche Produkt
504
Die Eulersche Summenformel
506
Die Stirlingsche Formel
510
Räuberische Prozesse Die Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen
512
Fremdbestimmte Veränderungsprozesse Die allgemeine lineare Differentialgleichung erster Ordnung
518
Erzwungene Schwingungen Die inhomogene lineare Differen tialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
524
Numerische Integration
529
Potentielle und kinetische Energie
533
Vertauschung von Grenzübergängen Gleichmäßige und monotone Konvergenz 102 Vorbemerkungen zum Vertauschungsproblem
537
Gleichmäßige Konvergenz
542
Vertauschung von Grenzübergängen bei Folgen
550
Kriterien für gleichmäßige Konvergenz
555
Gleichstetigkeit Der Satz von ArzeläAscoli
561
Vertauschung von Grenzübergängen bei Netzen
568
Monotone Konvergenz
577
Lösungen ausgewählter Aufgaben
583
Literaturverzeichnis
629
Symbolverzeichnis
630
Namen und Sachverzeichnis
631
Urheberrecht

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Über den Autor (2009)

Professor Dr. Harro Heuser, Universität Karlsruhe

Bibliografische Informationen